光弹性法原理

光弹性法原理

1.2.1 理论基础

光具有波动性，振动方向和传播方向垂直，光源所发射的光包含一系列向各个方向振动的光波。如图1.1所示，通过引入偏振器P，只有和偏振器偏振轴平行的振动分量能通过，该通过的光波被称为平面偏振光。如果光路中有另一个偏振器A，当两偏振器的偏振轴相互垂直时，光束将会被完全阻隔。

图1.1 光的偏振

光在真空中或者空气中的传播速度为，在其他介质中，光的传播速度为较低的，比值被称为折射率。不考虑传播方向和平面振动的情况下，均匀介质的折射率为常数，然而在晶体中，折射率取决于振动方向下相对于折射率主轴的方向。在各向异性晶体中一点的光学性质在几何上也可以用折射率椭球表示为

而在三向应力状态下，一点的应力可以用椭球应力方程表示为

其中，椭球的三个主轴即为该点的应力主轴。

比较式(1.1)和(1.2)可以看出，应力椭球和折射率椭球的应力主轴和折射率主轴重合。各向同性的透明固体材料在应力作用下能表现出和晶体一样的双折射效应，而点的应力状态于光学性质又存在着上述对应关系，这是建立光弹性应力分析的基础。一些材料（尤其是塑料）在无应力状态下表现为各向同性，而在应力状态下则表现为各向异性。

图1.2 平面偏振系统

当偏振光通过厚的塑料板的一点时，该点的主应力方向分别为X和Y，光矢量被分为两束偏振光并沿着平面X和Y传播，如图1.2所示。如果沿X和Y方向的应力大小分别为和，沿该方向振动的光波光速分别为和，每束光通过平板的传播时间为和，那么两束光间的光程差为

应力光学定律表示为

式中，K为称为“应力光性系数”，用于描述材料的物理性质，它通常是通过校正得到的非尺寸常数，和应变计的“灵敏度”相似。结合等式(1.3)和(1.4)可以得到

最终得到光弹法的基本测量关系式

两束偏振光间存在相对滞后，两束光由该塑料射出时不再同相位。检偏镜A仅使这些光中的偏振方向与偏振轴平行的分量通过，如图1.2所示，这些偏振光将相互干涉，光强是光程差、分析镜与主应力方向的夹角的函数。

在平面偏振系统中，出射光的光强为

式中，为入射光波长。当或者相交的偏振镜和分析镜平行于主应力方向时，光强为零，所以平面偏振系统用于测量主应力方向。

图1.3 圆偏振系统

如图1.3所示，在光路中加入四分之一波片后，将得到圆偏振光，由此得到的图像不再受主应力方向的影响，而此时的光强为

在圆偏振系统中，在，时，光强为零。正整数N也是条纹级数，由此，光程差就可以用N来表示，已知就能得到主应力差

式中，为材料条纹值，与材料所使用的光源有关，单位N/mm，表示单位厚度的模型产生一级条纹所需主应力差值。

光强为零的点形成的轨迹的特点是主应力差相等，因此称为等差线。只要知道了模型材料的厚度t、材料的条纹值f_σ和条纹级数N，就可以得到该点的主应力差值。

1.2.2 光弹性模型

在光弹性实验中，材料条纹值f_σ是一个关键参数，也是唯一的一个联系力学量和光学量的常数，需要得到小数点后2到3位的精度。特别地，对于对径压缩圆盘中心点上的条纹级数与载荷的关系有

式中，N_c为圆盘中心点上的条纹级数，D为圆盘直径。

使用尽可能多的数据来计算材料的应力条纹值，假设与残余双折射相关的条纹级数是位置坐标(x, y)的线性函数，即

式中，A，B，C为常数。任一点的条纹级数等于理论值和残余条纹级数之和，由应力-光学定律，有

为了计算机实现，另，并根据对径压缩圆盘理论得到

式中，R为圆盘半径。则对于任一点有条纹级数为

这样从实验得到的一系列光弹性数据(x, y, N)，可使用最小二乘标准来确定未知数f_σ。

以直径30 mm、厚4.8 mm的聚碳酸酯圆板为例，如图1.4所示为一次实验结果图，图像放大率30/476 = 0.06302521 mm/pixel，迭代得到的材料条纹值为，如图1.5所示为不同载荷下人工得到的材料条纹值条形图，其平均值为。由于具有一定宽度的等色线条纹难以凭视觉准确判断是否通过圆盘中心，而且圆盘中心位置也难以人工准确确定，因此人工测试结果存在不可避免的人为误差，要通过多次测量平均来尽可能消除。

综上所述，该聚碳酸酯模型所具有的材料条纹值为f_σ = 7.80 N/mm。